Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（3，0），D、E在x軸上，F(xiàn)為平面上一點(diǎn)，且EF⊥x軸，直線DF與直線AB互相垂直，垂足為H，△AOB≌△DEF，設(shè)BD=h．
（1）若F坐標(biāo)（7，3），則h=______，若F坐標(biāo)（-10，-3），則DH=______；
（2）如h=，則相對(duì)應(yīng)的F點(diǎn)存在______個(gè)，并請(qǐng)求出恰好在拋物線y=上的點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）請(qǐng)求出4個(gè)值，滿足以A、H、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

Answer 1

解：∵A（0，4），B（3，0）
∴OA=4  OB=3
∵△AOB≌△DEF
∴DE=4   EF=3
（1）若F坐標(biāo)（7，3），則 0E=7  EF=3  OD=7-4=3
∵OB=3
∴h=BD=0
若F坐標(biāo)（-10，-3），如圖，則OE=10  DE=4  OD=6
∴BD=OD+OB=9
∵△FED∽△BHD
∴=即=
∴DH=

（2）若h=，則點(diǎn)D坐標(biāo)為D₁（-，0）或D₂（，0），如圖所示，相對(duì)應(yīng)的F點(diǎn)共有4個(gè)．

∵OE₁=-4-=-    OE₂=4-=  OE₃=3++4=    OE₄=3+-4=
∴這4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 F₁（-，3 ）   F₂（，3）F₃（，3 ）  F₄（，3）
分別把這4個(gè)點(diǎn)代入拋物線y=中可得點(diǎn) F₂（，3）在拋物線上．
（3）∵FH⊥AB  EF⊥x軸
∴FH與EF不可能平行
①當(dāng)AF∥EH時(shí)，如圖

此時(shí)，BD=h，則BH=h  BE=4-h
∵△ABO∽△GEB
∴BE：GE：BG=3：4：5
∴BG=  GE=
∵AF∥HE
∴△GEH∽△GFA
∴=
∴=
化簡(jiǎn)得：3h²-25h+25=0
解得：h=
②當(dāng)FH∥AE時(shí)，如圖△DEF∽△EAB

∴=
∵BE=BD-DE=h-4
∴=
∴h=
③當(dāng)FH∥AE時(shí)，如圖△DEF∽△EAB

∴=
∵BE=BD+DE=h+4
∴=
∴h=
綜上可知：滿足以A、H、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形的h的4個(gè)值分別是，，，．
分析：（1）先根據(jù)題意求出DE=4，EF=3，確定點(diǎn)F的位置后可求出OB=3，所以h=BD=0；若F坐標(biāo)（-10，-3），則OE=10，DE=4，OD=6，再根據(jù)△FED∽△BHD中的比例關(guān)系=來(lái)求出DH=．
（2）先根據(jù)h=，求出點(diǎn)D坐標(biāo)為（-，0）或（，0）共兩個(gè)，因?yàn)镈H⊥AB，所以滿足條件的DH有2條，每條DH上滿足條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，所以共有4個(gè)．根據(jù)△AOB≌△DEF，DE=4，EF=3，可分別求出對(duì)應(yīng)的4個(gè)F點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別代入拋物線y=中可確定在拋物線上的點(diǎn)F．
（3）根據(jù)FH⊥AB，EF⊥x軸可以確定FH與EF不可能平行．所以從AF∥EH和FH∥AE兩個(gè)方面進(jìn)行分析．
當(dāng)AF∥EH時(shí)BD=h，則BH=h  BE=4-h，利用△ABO∽△GEB和△GEH∽△GFA得到=，代入對(duì)應(yīng)的數(shù)值可得3h²-25h+25=0，從而求得h=．
當(dāng)FH∥AE時(shí)，△DEF∽△EAB，此時(shí)分兩種情況：一種是點(diǎn)F在第二象限，另一種是點(diǎn)F在第四象限．都可以用△DEF∽△EAB中的=作為等量關(guān)系，得到關(guān)于h的方程，解方程即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在第（3）題，要把握住梯形的性質(zhì)，根據(jù)題意確定FH與EF不可能平行，從AF∥EH和FH∥AE兩個(gè)方面進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．在有直角反復(fù)出現(xiàn)的圖形中利用直角三角形的全等和相似來(lái)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系是常用的方法．