Question

如圖，圓O的半徑為

5

，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB=AC=4，BD為圓O的直徑，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專(zhuān)題：

分析：連結(jié)AO并延長(zhǎng)，交BC于E．先由圓周角定理得出∠BAD=∠BCD=90°，再證明AO是BC的垂直平分線，由cos∠BAO=

1 2 AB

AO

=

2

5

=

AE

AB

，求出AE=

8

5

．再根據(jù)勾股定理求得BE=CE=

4

5

，于是BC=2BE=

8

5

．再由勾股定理求得CD=

BD2-CD2

=

6

5

，AD=

BD2-AB2

=2，然后根據(jù)四邊形ABCD的面積=

1

2

AB•AD+

1

2

BC•CD，代入數(shù)據(jù)即可求解．

解答：解：如圖，連結(jié)AO并延長(zhǎng)，交BC于E．
∵BD為圓O的直徑，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵AB=AC=4，BO=CO=R，
∴AO是BC的垂直平分線，
∵AO=BO=CO=DO=

5

，
∴cos∠BAO=

1 2 AB

AO

=

2

5

=

AE

AB

，
∴AE=

8

5

．
由勾股定理解得BE=CE=

4

5

，
∴BC=2BE=

8

5

．
由勾股定理解得CD=

BD2-CD2

=

6

5

，AD=

BD2-AB2

=2，
∴四邊形ABCD的面積=

1

2

AB•AD+

1

2

BC•CD=

1

2

×4×2+

1

2

×

8

5

×

6

5

=4+

24

5

=8.8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，勾股定理，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線求出BC、CD、AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．