Question

如圖，∠A=90°，AB=AC=4，點E、F分別為邊AB、AC上的動點，且AD⊥BC于D，ED⊥FD，分別交AB、AC于E、F．
（1）觀察、猜想、思考，并直接寫出AD、BD、CD的大小關系（不要求證明）；
（2）求證：DF=DE；
（3）當點E在AB上什么位置時，△DEF的面積最小，并求△DEF的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出CD=BD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質球場即可；
（2）求出AD=BD，∠FAD=∠B，∠FDA=∠EDB，證出△FDA≌△EDB即可；
（3）根據(jù)垂線段最短作DE⊥AB于E，得出E為AB中點，此時△DEF的面積最小，求出DE的長即可．

解答：（1）解：AD=BD=CD，
理由是：∵AC=AB，AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵△BAC中，∠CAB=90°，
∴AD=BD=DC=

1

2

BC；

（2）證明：∵AC=AB，AD⊥BD，∠CAB=90°，
∴AD⊥BC，∠FAD=∠DAB=∠B=∠C=45°，
∴∠ADB=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠FDE=90°，
∴∠FDA=∠EDB=90°-∠ADE，
在△FDA和△EDB中

∠FAD=∠B AD=BD ∠FDA=∠EDB

∴△FDA≌△EDB，
∴DF=DE；

（3）解：當點E在AB的中點上時，△DEF的面積最小，
理由是：∵∠FDE=90°，DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴△DEF的面積是

1

2

×DE×DF=

1

2

×DE×DE，
即要使△DEF得面積最小，只要DE的值最小即可，
根據(jù)垂線段最短，過D作DE⊥AB于E，
∵∠CAB=90°，
∴DE∥AC，
∵CD=BD，
∴AE=BE（即E為AB的中點），
∴DE=

1

2

AC=2，
∴△DEF的面積的最小值是

1

2

×2×2=2，
即當點E在AB的中點上時，△DEF的面積最小，△DEF的面積的最小值是2．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上中線性質，全等三角形的性質和判定，等腰三角形性質，平行線性質的應用，綜合性比較強，有一定的難度．