若干個1與2排成一行:1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,------,規(guī)則是:第1個數(shù)是1,第2個數(shù)是2,第3個數(shù)是1,一般地,先寫一行1,再在第k個1與第k+1個1之間插入k個2(k=1,2,3,---).試問:(1)第2006個數(shù)是1還是2?
(2)前2006個數(shù)的和是多少?前2006個數(shù)的平方和是多少?
(3)前2006個數(shù)兩兩乘積的和是多少?
【答案】
分析:(1)根據(jù)規(guī)則可知第n-1行共有數(shù)字個數(shù)為2+3+4+…+n=
-1,由于n=63時,數(shù)字個數(shù)為2015個,從而得出第2006個數(shù);
(2)觀察數(shù)的排列可知每行有一個1,其余都是2,得出前2006個數(shù)中1的個數(shù)和2的個數(shù).
(3)根據(jù)數(shù)字規(guī)律假設(shè)出R=a
1+a
2+…+a
2006=3950,T=a
12+a
22+…+a
20062,進(jìn)而求出即可.
解答:解:(1)把該列數(shù)如下分組:
1 第1組,
2 1 第2組,
2 2 1 第3組,
2 2 2 1 第4組,
2 2 2 2 1 第5組,
-------
2 2 2 2 2 1 第n組 (有n-1個2),
易得,第2006個數(shù)為第63組,第53個數(shù),為2;
(2)前2006個數(shù)的和為62+1944×2=3950,
前2006個數(shù)的平方和是:62×1
2+1944×2
2=7838;
(3)記這2006個數(shù)為:
a
1,a
2,…a
2006,
記R=a
1+a
2+…+a
2006=3950,
T=a
12+a
22+…+a
20062,
=62×1
2+1944×2
2,
=7838,
S=a
1a
2+a
1a
3+…+a
1a
2006+a
2a
3+a
2a
4+…+a
2a
2006+…+a
2005a
2006,
∴2S=(a
1+a
2+…+a
2006)
2-(a
12+a
22+…+a
20062),
=R
2-T,
=3950
2-7838,
S=
(3950
2-7862)=7797331.
點評:此題考查了規(guī)律型:數(shù)字的變化,解題的關(guān)鍵是得出每行有一個1,其余都是2,并且2的個數(shù)為公差為1的等差數(shù)列.