Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經(jīng)過點A，B，且其頂點P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；
（2）寫出A，B兩點的坐標；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）120°
（2）A(1-，0 )   B（1+，0）
（3）  
（4）點D在拋物線上   所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分

試題分析：（1）
解：過點作CM⊥AB，得CM=1，
∵AC=2，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=120°    （2分）
（2）∵CM=1，AC=2，∴AM=
∴A(1-，0 )   B（1+，0）        （2分）
（3）
解：由題可得該拋物線的對稱軸為 直線x=1，PM=3
∴頂點坐標為（1,3）                (1分)
設(shè)
經(jīng)過點A(1-，0 ) ，得 0=3a+3
∴a=-1   ∴       （2分）
（4）解：存在   （1分）
假設(shè)存在點D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形
∴PC//OD且PC=OD．
∵PC//y軸，∴點D在y軸上．
又∵PC=2，∴OD=2，即D（0，2）．    （2分）
又D（0，2）滿足
∴點D在拋物線上   所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分． （2分）
點評：此類試題屬于難度較大的試題，考生在解答此類試題時一定要對待定系數(shù)法解二次函數(shù)的基本知識熟練把握