Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC．
（1）若AB=DC=2，BC=4，求梯形的面積；
（2）若∠A=120°，BD=BC=4，求梯形的面積．

Answer 1

解：（1）過A作AE⊥BC，過D作DF⊥BC分別交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，
則四邊形AEFD為矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=2，
∵AB=DC，AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF=（BC-EF）=×（4-AD）=1，
∴AE==
∴S_△ABE=×1×=，
∴梯形的面積=2S_△ABE+S_矩形AEFD=2×+2×=3；

（2）過點(diǎn)B作BE⊥DA交DA的延長線于E．
∵∠BAD=120°，
∴∠EAB=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3=30°，
在Rt△BDE中，∵BD=4，
∴BE=BD=2，ED=BD×cos30°=6，
在Rt△BEA中，
∴AE=BE•cot60°=2×=2，
∴AD=ED-AE=6-2=4，
∴S_梯形=（AD+BC）•EB=×（4+4）×2=4+12．
分析：（1）過A作AE⊥BC，過D作DF⊥BC分別交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，根據(jù)已知條件可證明AD=AB=CD，△AEB≌△DFC，因?yàn)槿�角形ABE和矩形AEFD的面積可求出，進(jìn)而求出梯形的面積；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥DA交DA的延長線于E，則分別構(gòu)成兩個(gè)直角三角形，Rt△BDE，Rt△ABE，利用直角三角形的性質(zhì)求得ED，BE，AD，BD的長，再利用梯形的面積公式即可求得梯形的面積．
點(diǎn)評：本題主要考查對平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能把梯形轉(zhuǎn)化成直角三角形和等腰三角形以及矩形是解此題的關(guān)鍵．