Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別是AB和AD延長線上的點(diǎn)，BE=DF．
（1）求證：△CEF是等腰直角三角形；
（2）若S_△CEF=

17

2

，①當(dāng)AF=5DF時(shí)，求正方形ABCD的邊長；②通過探究，直接寫出當(dāng)AB=kDF（k＞1）時(shí)，正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，再求出∠CDF=90°，從而得到∠B=∠CDF，再利用“邊角邊”證明△BEC和△DFC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EC=FC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BCE=∠CF，然后求出∠ECF=90°，即可得證；
（2）①設(shè)DF=x，表示出AF=5x，然后求出BC=4x，根據(jù)勾股定理求出CE²，再根據(jù)等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的一半列式求出x，然后求出正方形的邊長即可；
②根據(jù)①的思路表示出CE²，再根據(jù)等腰直角三角形的面積等于直角邊平方的一半列出方程表示出DF²，再求出AB²，即可得解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠CDF=180°-∠ADC=90°，
∴∠B=∠CDF，
在△BEC和△DFC中，

BC=DC ∠B=∠CDF BE=DF

，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴EC=FC，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°，
∴∠DCF+DCE=90°，
即∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形；

（2）解：①∵AF=5DF，
∴可設(shè)DF=x，（x＞0），則AF=5x，BC=AD=4x，BE=x，
由勾股定理得：CE²=x²+（4x）²=17x²，
∵S_△CEF=

17

2

，且△CEF是等腰直角三角形，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

×17x²=

17

2

，
解得：x=1，
∴AD=4，
即正方形ABCD的邊長為4；
②當(dāng)AB=kDF（k＞1）時(shí)，CE²=DF²+CD²=（k²+1）DF²，
∴S_△CEF=

1

2

×CE²=

1

2

（k²+1）DF²=

17

2

，
∴DF²=

17

k2+1

，
∴AB²=k²DF²=

17k2

k2+1

，
即正方形的面積為

17k2

k2+1

．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，（1）求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．