如圖,一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn),且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(1,-1).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)設(shè)該拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,求證:△OBA為等腰直角三角形;
(3)設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C,請(qǐng)你在拋物線位于x軸上方的圖象上求兩點(diǎn)E、F,使△ECF為等腰直角三角形,且∠ECF=90°.

【答案】分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-1,將O(0,0)點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式即可;
(2)先求出A點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理OB2+AB2=OA2即可證明△OBA為等腰直角三角形;
(3)過C作CE∥BO,CF∥AB,找出等腰直角三角形△ECF,再根據(jù)已知條件取出E、F兩點(diǎn)坐標(biāo).
解答:(1)解:由題意,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-1,
則0=a(0-1)2-1,
∴a=1.(2分)
∴y=(x-1)2-1,
即y=x2-2x.(3分)

(2)證明:當(dāng)y=0時(shí),x2-2x=0解得x=0或x=2.
∴A(2,0)(4分)
又B(1,-1),O(0,0),
∴OB2=2,AB2=2,OA2=4.
∴OB2+AB2=OA2
∴∠OBA=90°,且OB=BA.
∴△OBA為等腰直角三角形.(6分)

(3)解:如圖,過C作CE∥BO,CF∥AB,分
別交拋物線于點(diǎn)E、F,過點(diǎn)F作FD⊥X軸于D,
則∠ECF=90°,EC=CF,F(xiàn)D=CD.
∴△ECF為等腰直角三角形.(7分)
令FD=m>0,則CD=m,OD=1+m
∴F(1+m,m)(8分)
∴m=(1+m)2-2(1+m),
即m2-m-1=0.解得m=
∵m>0,
∴m=
∴F().
∵點(diǎn)E、F關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
∴E=().(10分)
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題,題中涉及等腰直角三角形的證明和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用,是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練,屬于中檔題.
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(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)設(shè)該拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為A,求證:△OBA為等腰直角三角形;
(3)設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C,請(qǐng)你在拋物線位于x軸上方的圖象上求兩點(diǎn)E、F,使△ECF為等腰直角三角形,且∠ECF=90°.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn),且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(1,-1).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
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(3)設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C,請(qǐng)你在拋物線位于x軸上方的圖象上求兩點(diǎn)E、F,使△ECF為等腰直角三角形,且∠ECF=90°.

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如圖,一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)C(8,0),A、B是該拋物線上的兩點(diǎn),AB∥x軸,OA=5,AB=2.點(diǎn)E在線段OC上,作∠MEN=∠AOC,使∠MEN的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)A,另一邊交線段BC于點(diǎn)F,連接AF.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(3)當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).

 

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如圖,一條拋物線經(jīng)過原點(diǎn),且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)(1,-1).
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