Question

（2006•長沙）如圖1，已知直線y=-x與拋物線y=-x²+6交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求線段AB的垂直平分線的解析式；
（3）如圖2，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在A，B兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點(diǎn)P將與A，B構(gòu)成無數(shù)個三角形，這些三角形中是否存在一個面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立兩函數(shù)的解析式即可求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）可作AB的垂直平分線設(shè)其與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為C、D，與AB的交點(diǎn)為M，可根據(jù)△BEO∽△OCM求出OC的長，同理可求出OD的長，即可得出C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出AB垂直平分線的解析式．（另一種解法，可根據(jù)A、B的坐標(biāo)得出AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出直線AB的解析式，由于AB的垂直平分線與AB垂直，因此它的斜率與AB的斜率的乘積為-1，由此可得出所求直線的斜率，然后將中點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出其解析式．）
（3）要使三角形ABP的面積最大，那么P到AB的距離就最大，因此P點(diǎn)必在與直線AB平行且與拋物線只有一個交點(diǎn)的一次函數(shù)上（設(shè)此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)為G、H），據(jù)此可求出此直線的解析式和P點(diǎn)的坐標(biāo)．然后可通過在三角形OHG中，根據(jù)面積的不同表示方法求出P點(diǎn)到AB的距離（即O到GH的距離），進(jìn)而可求出三角形ABP的面積．
解答：解：（1）依題意得
解之得
∴A（6，-3），B（-4，2）

（2）作AB的垂直平分線交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，交AB于M（如圖1），
由（1）可知：OA=3，OB=2
∴AB=5
AB-OB=
過B作BE⊥x軸，E為垂足
由△BEO∽△OCM，得：，
∴
同理：OD=，
∴C（，0），D（0，-）
設(shè)CD的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴
∴
∴AB的垂直平分線的解析式為：y=2x-．

（3）若存在點(diǎn)P使△APB的面積最大，則點(diǎn)P在與直線AB平行且和拋物線只有一個交點(diǎn)的直線
y=-x+m上，并設(shè)該直線與x軸，y軸交于G，H兩點(diǎn)（如圖2）．
∴
∴x²-x+m-6=0
∵拋物線與直線只有一個交點(diǎn)，
∴△=（-）²-4×（m-6）=0，
∴m=，
故x²-x+=0，即（x-1）²=0，
解得：x=1，
將x=1代入y=-+得：y=，
∴P（1，）
在直線GH：y=-x+中，
∴G（，0），H（0，）
∴GH=
設(shè)O到GH的距離為d，
∵GH•d=OG•OH
∵×d=××
∴d=，
又∵由AB∥GH
∴P到AB的距離等于O到GH的距離d．
∴S_最大面積=AB•d=×5．
點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)、一元二次方程的根判別式及一些幾何知識，是全卷的壓軸題，綜合性很強(qiáng)，要求學(xué)生全面而扎實(shí)地掌握所學(xué)知識，第（3）小題很有創(chuàng)意又有一定的探索性，總之，這是一道能很好地考查學(xué)生初中三年積累的好題．