Question

如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB．
（1）求證：PE=PD；
（2）PE⊥PD．

Answer 1

證明：（1）①過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD；

（2）∵△EFP≌△PGD，
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．
∴∠DPE=90度．
∴PE⊥PD．

證法二
證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC （SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD；

（2）∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解．過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，
（2）由（1）可知：∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．
點評：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，通過構(gòu)建全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵．