Question

如圖，四邊形ABCD中，AB=CB，∠ABC=60°，∠ADC=120°，請你猜想線段DA、DC之和與線段BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：延長CD至E，使DE=DA．連接AC，AE，如圖，
∵∠ADC=120°，
∴∠ADE=60°，
∵AD=DE，
∴△EAD是等邊三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°+∠CAD，∠EAC=∠DAE+∠DAC=60°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE．
∵在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
而CE=CD+DE，DA=DE，
∴AD+CD=BD．
分析：延長CD至E，使DE=DA．連接AC，AE，由∠ADC=120°得到∠ADE=60°，又AD=DE，可判斷△EAD是等邊三角形，則AE=AD，∠DAE=60°，再根據(jù)AB=AC，∠ABC=60°可△ABC為等邊三角形，則AB=AC，∠BAC=60°，易證∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)“SAS”判斷△BAD≌△CAE，根據(jù)全等的性質(zhì)得CE=BD，利用CE=CD+DE，DA=DE，即可得到AD+CD=BD．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．