Question

某小區(qū)有A、B、C、D四棟居民樓，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)A、C、D三棟居民樓兩兩距離相等，且∠ACB=90°，物業(yè)打算在A、B兩樓之間的小路AB上修建一個休閑運動區(qū)域E，且D樓居民恰好能沿著小路DE直達該區(qū)域，小路DE和小路AC恰好互相垂直，垂足為F．
（1）說明：AE=CE=BE；
（2）若AB=35m，P是直線DE上的一點．則當(dāng)P在何處時，PB+PC最小，并求出此時，PB+PC的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形“三合一”的性質(zhì)證得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE=CE，根據(jù)等邊對等角、直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)以及等量代換求得∠BCE=∠B；最后根據(jù)等角對等邊證得CE=BE，所以AE=CE=BE；
（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC=PA；由等量代換知PB+PC=PB+PA；根據(jù)兩點之間線段最短可知，當(dāng)點P、B、A在同一直線上最小，所以點P在E處時最小．

解答：（1）證明：由題意得：AC=CD=DA，
∵∠ACB=90°，
∴△ACD是等邊三角形，
∵DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°，
∴∠BCE=∠B，
∴BE=CE；
∴AE=CE=BE；           

（2）解：∵DE垂直平分AC，
∴PC=PA，
∴PB+PC=PB+PA；
∴PB+PC最小，也就是PB+PA最小，也就是P、B、A在同一直線上是最小，
即當(dāng)P在E處時最小，
當(dāng)點P在E處時，PB+PC=AB=35米．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)．解答（2）題時，主要利用“兩點之間線段最短”來確定點P的位置．