Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對角線BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求證：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB （AAS）

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠ADE=30°，AE=3，

∴AD=2AE=2×3=6，

∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30°

∴∠ABE=45°，

在Rt△ABE中，

∵ =sin45°，

∴AB= =3 ，

∴平行四邊形ABCD的周長l=2（AB+AD）=2×（6+3 ）=12+6

【解析】（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根據(jù)AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根據(jù)這三個條件即可證明全等；（2）根據(jù)已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分別在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的長度，即可求出周長．
【考點精析】利用平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．