Question

設(shè)p＞3，且p與p+2ⁿ都是質(zhì)數(shù)．求證：p+2ⁿ⁺¹為合數(shù)，n為正整數(shù)．

Answer 1

分析：假設(shè)p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹都是質(zhì)數(shù)，通過證明得到p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹分別除以3得到三個余數(shù)，由于3作除數(shù)可得到的余數(shù)只有1、2，相矛盾，從而得證．

解答：證明：假設(shè)p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹都是質(zhì)數(shù)，
那么它們都不能被3整除，
但p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹中不可能有兩個數(shù)除3同余，
否則，如果有兩個數(shù)除3同余，則它們的差：2ⁿ或2ⁿ⁺¹整除3，這不可能，
故p、p+2ⁿ、p+2ⁿ⁺¹分別除以3得到三個余數(shù)，
但3作除數(shù)可得到的余數(shù)只有1、2，矛盾．
故p+2ⁿ⁺¹為合數(shù)．

點評：此題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，通過反證法得到矛盾的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．