Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°，AD=3，BC=7，P為BC邊上的一點(diǎn)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作∠APE=∠B，PE交CD于點(diǎn)E．若CE=3，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：證明：過點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴△ABF為等邊三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
設(shè)BP=x，則PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
當(dāng)BP=4時(shí)，△CEP為等邊三角形，∴PE=CP=3，
當(dāng)BP=3時(shí)，PE=

21

，
∴PE的長(zhǎng)度為3或

21

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．