Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（1）直接寫出點E、F的坐標；
（2）設頂點為F的拋物線交y軸正半軸于點P，且以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=．
設點P的坐標為（0，n），其中n＞0，
∵頂點F（1，2），
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+2（a≠0）．
①如圖1，
當EF=PF時，EF²=PF²，
∴1²+（n-2）²=5．
解得n₁=0（舍去）；n₂=4．
∴P（0，4）．
∴4=a（0-1）²+2．
解得a=2．
∴拋物線的解析式為y=2（x-1）²+2
②如圖2，
當EP=FP時，EP²=FP²，
∴（2-n）²+1=（1-n）²+9．
解得（舍去）
③當EF=EP時，EP=，這種情況不存在．
綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=2（x-1）²+2．

（3）存在點M，N，使得四邊形MNFE的周長最�。�
如圖3，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，
連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=．
又∵，
∴FN+MN+ME+EF=5+，此時四邊形MNFE的周長最小值是．
分析：（1）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（2）頂點為F的坐標根據(jù)第一問可以求得是（1，2），因而拋物線的解析式可以設為y=a（x-1）²+2，以點E、F、P為頂點的三角形是等腰三角形，應分EF是腰和底邊兩種情況進行討論．
當EF是腰，EF=PF時，已知E、F點的坐標可以求出EF的長，設P點的坐標是（0，n），根據(jù)勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐標．
當EF是腰，EF=EP時，可以判斷E到y(tǒng)軸的最短距離與EF的大小關(guān)系，只有當EF大于E到y(tǒng)軸的距離，P才存在．
當EF是底邊時，EP=FP，根據(jù)勾股定理就可以得到關(guān)于n的方程，就可以解得n的值．
（3）作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離的問題．