如圖,P為正方形ABCD的對稱中心,A(0,3),B(1,0),直線OP交AB于N,DC于M,點(diǎn)H從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正半軸方向以1個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)R從O出發(fā)沿精英家教網(wǎng)OM方向以
2
個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.求:
(1)C的坐標(biāo)為
 
;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△ANO與△DMR相似?
(3)△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;并求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值及S的值.
分析:(1)做CQ⊥x軸,根據(jù)題意推出△AOB≌△BQC,即可推出OQ,CQ的長度,即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)根據(jù)P點(diǎn)為對稱中心,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2),即可推出∠AON=45°,然后分情況進(jìn)行討論,①當(dāng)∠MDR=45°時(shí),②當(dāng)∠DRM=45°時(shí);
(3)①根據(jù)R和H點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,∠ROH=45°,推出RH始終垂直于x軸,即可推出OH的長度,便可推出RH邊上高的長度,根據(jù)面積公式即可推出S與t的函數(shù)式;
②分情況進(jìn)行討論,頂邊和底邊分別為BC、AR,此時(shí)BC∥AR,結(jié)合已知和已證求出R點(diǎn)的坐標(biāo),求出t即可;頂邊、底邊分別為CR、AB,此時(shí)CR∥AB,結(jié)合已知和已證求出R點(diǎn)的坐標(biāo),求出t即可.
解答:解:(1)做CQ⊥x軸,
∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBQ=∠OAB,
∴△AOB≌△BQC,
∴CQ=OB,BQ=OA,
∵A(0,3),B(1,0),
∴BQ=3,CQ=1,
∴OQ=4,
∴C(4,1);

(2)∵P是正方形的對稱中心,由A(0,3),C(4,1),
∴P(2,2);
∴∠MOB=45°,
∴∠AON=45°,
∵點(diǎn)R從O出發(fā)沿OM方向以
2
個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,精英家教網(wǎng)
∴OR=
2
t,OH=t,
∴RH∥y軸,即R、H的橫坐標(biāo)相同;
∵AB∥CD,
∴∠DMR=∠ANO,
若△ANO與△DMR相似,
則∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°,
①當(dāng)∠MDR=45°時(shí),R、P重合,
∵R(2,2),
∴t=2;
②當(dāng)∠DRM=45°時(shí),DR∥y軸,
∵D(3,4),
∴R(3,3),
∴t=3,
∴當(dāng)t=2或t=3時(shí),△ANO與△DMR相似.

(3)①∵R速度為
2
,H速度為1,且∠ROH=45°,
∴tan∠ROH=1,
∴RH始終垂直于x軸,
∴RH=OH=t,
 設(shè)△HCR的邊RH的高為h,
∴h=|4-t|.
∴S△HCR=h•t
1
2
=|-t2+4t|
1
2

∴S=-
1
2
t2+2t(0<t≤4);S=
1
2
t2-2t(t>4);
②以A、B、C、R為頂點(diǎn)的梯形,有三種可能:
 1.頂邊和底邊分別為BC、AR,此時(shí)BC∥AR.精英家教網(wǎng)
延長AD,使其與OM相交于點(diǎn)R,
∴AD的斜率=tan∠BAO=
1
3
,
∴直線AD為:y=
x
3
+3.
∴R坐標(biāo)為(4.5,4.5),
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形,
∴t=4.5
 2.頂邊、底邊分別為CR、AB,此時(shí)CR∥AB,且R與M重合.
∴CD的斜率=-3,且直線CD過點(diǎn)C,
∴直線CD為:y-1=-3•(x-4),
∴y=-3x+13,
∵OM與CD交于點(diǎn)M(即R),
∴M為(
13
4
13
4
),精英家教網(wǎng)
∴此時(shí)四邊形ABCR為梯形,
∴t=
13
4
,
3.當(dāng)AC和BR是梯形的底時(shí),
AC的解析式是y=kx+b,則
b=4
4k+b=0
,
解得:
b=4
k=-1
,則解析式是y=-x+4,
設(shè)BC的解析式是y=-x+c,則-1+c=0,
解得:c=1,
則函數(shù)的解析式是y=-x+1,
進(jìn)而求出R坐標(biāo)(
1
3
1
3
)求出t=
1
3

∴當(dāng)CR∥AB時(shí),t=
13
4
,S=
39
32
,
當(dāng)AR∥BC時(shí),t=
9
2
,S=
9
8
,
當(dāng)BR∥AC時(shí),t=
1
3
,S=
11
18
點(diǎn)評:本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的性質(zhì)以及分類討論的思想.
練習(xí)冊系列答案
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5
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2
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(1)求G點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△AEO與△DFP相似?
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10
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2
個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,求:
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(2)求△HCR面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△ANO與△DMR相似?
(4)求以A、B、C、R為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)t的值.

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2
,求正方形ABCD的邊長.

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