Question

如圖，G為正方形ABCD的對(duì)稱中心，A（0，2），B（1，0），直線OG交AB于E，DC于F，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿A→B→C的方向以

5

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)P從O出發(fā)沿OF方向以

2

個(gè)單位每秒速度運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．求：
（1）求G點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEO與△DFP相似？
（3）求△QCP面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CN⊥x軸于N，△ABO≌△BCN，推出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可推出G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若想△AEO與△DFP相似，我們要先了解需要哪些條件，由于G是正方形的對(duì)稱中心?∠GDF=45°，然后分兩種情況進(jìn)行討論：∠DPF=45°時(shí)和當(dāng)∠PDF=45°時(shí)，很容易即可推出t所的值；
（3）因?yàn)镼為運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，本題要根據(jù)Q點(diǎn)的不同位置分類求解：第一種情況為Q點(diǎn)在AE上時(shí)，第二種情況為Q點(diǎn)在EB上時(shí)，第三種情況為Q點(diǎn)在BC上時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合已知條件，分別求出△QCP面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）過(guò)C作CN⊥x軸于N；由于四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
∴∠ABO+∠CBN=90°，
∵∠CBN+∠BCN=90°，
∴∠BCN=∠ABO，
∠AOB=∠BNC，
∴△ABO≌△BCN（aas），
則AO=BN=2，OB=CN=1，
∴C（3，1），
∵A（0，2），G為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴G（

3+0

2

，

1+2

2

）即G（

3

2

，

3

2

）；

（2）由于G是正方形的對(duì)稱中心，
∴∠GDF=45°，
由于AB∥CD，得∠DFP=∠AEO，若△AEO與△DFP相似，則：
①當(dāng)∠PDF=45°時(shí)，P、G重合，此時(shí)P（

3

2

，

3

2

），

2

t=

3

2

2

，
故t=

3

2

，
②∵A（0，2）B（1，0）C（3，1），
∴D（2，3），
當(dāng)∠DPF=45°時(shí)，DP∥y軸，此時(shí)P（2，2），

2

t=2

2

故t=2；
所以當(dāng)t=2或t=

3

2

時(shí)，△AEO與△DFP相似；

（3）0≤t≤

2

3

，
∵AQ=

5

t，
∴Q（t，2-2t），
∵OP=

2

t，
∴P（t，t），
∴PQ∥y軸，
∴PQ=2-2t-t=-3t+2，
∴高h(yuǎn)=3-t，
∴S_△QCP=

1

2

（-3t+2）（3-t），
∴S=

3

2

t2-

11

2

t+3，
②

2

3

≤t≤1時(shí)，
PQ=3t-2，
∴S_△QCP=

1

2

（3t-2）（3-t），
∴S=-

3

2

t²+

11

2

t-3，
③1≤t≤2時(shí)，
如圖，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥BC，PI⊥x軸，垂足為H、I，PI交BC于M，
∴△BIM∽△PHM，
∵正方形ABCD，
∴∠ABO+∠MBI=90°，
∴∠OAB=∠MBI，
∴△BIM∽△ABO∽△PHM，
∵BI=t-1，
∴MI=

t-1

2

，PM=t-

t-1

2

=

t+1

2

，
∴PH=

2

5

PM=

2

5

×

t+1

2

=

t+1

5

，
∴S_△QCP=

1

2

(2

5

-

5

t)

t+1

5

=-

1

2

t2+

1

2

t+1，
∴S=

3 2 t2- 11 2 t+3(0≤t≤ 2 3 )    - 3 2 t2+ 11 2 t-3( 2 3 ≤t≤1) - 1 2 t2+ 1 2 t+1(1≤t≤2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)式在實(shí)際問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于結(jié)合已知條件，求出各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，考慮Q點(diǎn)在不同位置時(shí)的分類求解．