Question

如圖，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，BE恰好平分∠ABC，有以下結論：
（1）ED=EC；（2）△ABC的周長等于2AE+EC；（3）圖中共有3個等腰三角形；（4）∠A=36°，
其中正確的共有（　�。�

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質,等腰三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）由角平分線的性質可判定ED≠EC；（2）由垂直平分線的性質可知AE=EB，則有AE+EB+AB=AE+AE+AE+EC=3AE+EC，可判斷出（2）；（3）可判定△ABE、△ABC、△BEC為等腰三角形；（4）由（3）可求得∠A；可得出答案．

解答：解：（1）由題意可知DE⊥AB，BE平分∠ABC，
∴當EC⊥BC時，有ED=EC，
∵AB=AC，
∴∠ACB不可能等于90°，
∴ED=EC不正確；
（2）∵E在線段AB的垂直平分線上，
∴EA=EB，
∴EA+EB+AB=EA+EA+AB=2EA+AB，
∵AB=AC，且AC=AE+EC，
∴EA+EB+AB=3AE+EC，
∴（2）不正確；
（3）∵AB=AC，
∴△ABC為等腰三角形，∠C=∠ABC，
∵EA=EB，
∴△EAB為等腰三角形，∠A=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠C=2∠CBE，
又∠BEC=∠A+∠ABE=2∠CBE，
∴∠BEC=∠C，
∴BE=BC，
∴△BEC為等腰三角形，
∴圖中共有3個等腰三角形，
∴（3）正確；
（4）由（3）可得∠BEC=∠C=2∠EBC，
∴2∠EBC+2∠EBC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=36°，
∴∠A=∠ABE=∠EBC=36°，
∴（4）正確；
∴正確的有（3）（4）共兩個，
故選C．

點評：本題主要考查線段垂直平分線的性質和等腰三角形的判定和性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵，注意三角形內角和定理的應用．