Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B（0，3

3

），連接AB，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開(kāi)始沿折線(xiàn)AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在A(yíng)O、OB、BA上運(yùn)動(dòng)的速度分別為1，

3

，2（長(zhǎng)度單位/秒）；同時(shí)直線(xiàn)l從x軸的位置開(kāi)始以

3

3

（長(zhǎng)度單位/秒）的速度向上平行移動(dòng)，且分別與OB、AB交于E、F兩點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線(xiàn)l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線(xiàn)AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線(xiàn)l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)表達(dá)式是

y=-

3

x+3

3

．
（2）當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為

（0，

3

）

，當(dāng)t=

9

2

時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；
（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？
（4）當(dāng)t=2時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使△FEQ∽△BEP？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求得過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)表達(dá)式；
（2）此題要掌握點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)，要掌握點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動(dòng)速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線(xiàn)段OA上，在線(xiàn)段OB上，在線(xiàn)段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線(xiàn)段EF的垂直平分線(xiàn)上與x軸的交點(diǎn)，可求的一個(gè)；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA上時(shí)，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．
（4）當(dāng)t=2時(shí)，可求的點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)表達(dá)式為y=ax+b（a、b為常數(shù)，且a≠0）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3

3

），
∴

0=3a+b 3 3 =b

，
解得，

a=- 3 b=3 3

，
∴過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)表達(dá)式為：y=-

3

x+3

3

；

（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），
∴OA=3；
又∵點(diǎn)P在A(yíng)O、OB、BA上運(yùn)動(dòng)的速度分別為1，

3

，
∴當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上，且OP=（4-3÷1）×

3

=

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，

3

）；
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，

OE

3 3

=

OE

3

+

OA

1

=

OE

3

+3，
解得OE=

3 3

2

，
∴t=

3 3 2

3 3

=

9

2

；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上時(shí)，過(guò)F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，
∴AG=

FG

tan60°

=

1

3

t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t
由3-t=

2

3

t得t=

9

5

；
②當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；
③當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA上時(shí)，過(guò)P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2）
∵OE=

3

3

t，
∴BE=3

3

-

3

3

t，
∴EF=

BE

tan60°

=3-

t

3

，
∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，
又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，
解得t=

45

7

；

（4）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=

2

3

3

，AP=2，OP=1
將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3）
∵OB⊥EF，
∴點(diǎn)B'在直線(xiàn)EF上，
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO-PO長(zhǎng)度
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

3

3

，

2

3

3

-1）
過(guò)F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，
則△FEQ∽△B'EC
由

BE

FE

=

B′E

FE

=

CE

QE

=

3

，可得Q的坐標(biāo)為（-

2

3

，

3

3

）；
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，Q關(guān)于直線(xiàn)EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'（-

2

3

，

3

）也符合條件．
故答案是：（1）y=-

3

x+3

3

；（2）（0，

3

）；

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性．