【題目】如圖,A、P、B、C是⊙O上四點(diǎn),∠APC=∠CPB=60°.
(1)求證:△ABC是等邊三角形;
(2)連接OA,OB,當(dāng)點(diǎn)P位于什么位置時(shí),四邊形PBOA是菱形?并說(shuō)明理由;
(3)已知PA=a,PB=b,求PC的長(zhǎng)(用含a和b的式子表示).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)時(shí),四邊形PBOA是菱形,理由見(jiàn)解析;(3)a+b.
【解析】
(1)利用圓周角定理得到∠BAC=∠CPB=60°,則∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,從而可判斷△ABC為等邊三角形;
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)時(shí),四邊形PBOA是菱形,連接OP,如圖1,先證明∠AOP=∠BOP=60°,再證明△OAP和△OBP都為等邊三角形,從而得到四邊形PBOA是菱形;
(3)如圖2,在PC上截取PD=PA,證明△APB≌△ADC得到PB=DC,從而得到PC=PD+DC=PA+PB=a+b.
(1)證明:∵∠BAC=∠CPB=60°,
∠ABC=∠APC=60°,.
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∴△ABC為等邊三角形;
(2)解:當(dāng)點(diǎn)P位于的中點(diǎn)時(shí),四邊形PBOA是菱形.
理由如下:連接OP,
∵∠AOB=2∠ACB=120°,P是的中點(diǎn),
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB,
∴△OAP和△OBP都為等邊三角形,
∴OA=AP=OB=PB
∴四邊形PBOA是菱形.
(3)解:如圖2,在PC上截取PD=PA,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等邊三角形,
∴PA=DA,∠DAP=60°,
∵∠PAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC,
∴∠PAB=∠DAC,
在△APB和△ADC中
,
∴△APB≌△ADC(ASA),
∴PB=DC,
又∵PA=PD,
∴PC=PD+DC=PA+PB=a+b.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=8,AD=17,折疊紙片使點(diǎn)B落在邊AD上的E處,折痕為PQ.當(dāng)E在AD邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P,Q也隨著移動(dòng).若限定P,Q分別在邊BA,BC上移動(dòng),則點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離為( 。
A.6B.7C.8D.9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形中,對(duì)角線與相交于點(diǎn),點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,分別交正方形的兩條邊于點(diǎn),,連接、,設(shè),的面積為,則能大致反映與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,E、F分別是邊BC,CD上一點(diǎn),∠EAF=45°.將△ABE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG,連接EF,求證EF=FG.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線型拱橋,當(dāng)拱頂離水面2m時(shí),水面寬4m,水面下降2m,水面寬度增加______m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知⊙中,為直徑,、分別切⊙于點(diǎn)、.
(1)如圖①,若,求的大。
(2)如圖②,過(guò)點(diǎn)作∥,交于點(diǎn),交⊙于點(diǎn),若,求的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AC=6,BC=8,AB=10,以點(diǎn)C為圓心,4為半徑作圓.點(diǎn)D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD、BD,則AD+BD的最小值為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】最近霧霾天氣頻繁,使得空氣凈化器得以暢銷(xiāo).某商場(chǎng)代理銷(xiāo)售某種空氣凈化器,其進(jìn)價(jià)是500元/臺(tái),經(jīng)過(guò)市場(chǎng)銷(xiāo)售后發(fā)現(xiàn),當(dāng)售價(jià)是1000元/臺(tái)時(shí),每月可售出50臺(tái),且售價(jià)每降低20元,每月就可多售出5臺(tái).若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于600元/臺(tái),代理銷(xiāo)售商每月要完成不低于60臺(tái)的銷(xiāo)售任務(wù).
(1)試確定月銷(xiāo)售量y(臺(tái))與售價(jià)x(元/臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出自變量x的取值范圍.
(2)當(dāng)售價(jià)x(元/臺(tái))定為多少時(shí),商場(chǎng)每月銷(xiāo)售這種空氣凈化器所獲得的利潤(rùn)w(元)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一座商場(chǎng)大樓的頂部豎直立有一個(gè)矩形廣告牌,小紅同學(xué)在地面上選擇了在條直線上的三點(diǎn)為樓底),,她在處測(cè)得廣告牌頂端的仰角為,在處測(cè)得商場(chǎng)大樓樓頂的仰角為米.已知廣告牌的高度米,求這座商場(chǎng)大樓的高度(,小紅的身高不計(jì),結(jié)果保留整數(shù)).
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