Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB=6，AD=9，點(diǎn)E是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E不與D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC，交AD于點(diǎn)F（當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G．設(shè)DE=x，△GEF與四邊形ABCD重疊部分的面積為y．

（1）求CD的長(zhǎng)及∠1的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)G恰好在BC上，求此時(shí)x的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，

∴AH=ABsinB=6× =3 ，

∵∠D=∠BCD=90°，

∴四邊形AHCD為矩形，

∴CD=AH=3 ，

∵ ，

∴∠CAD=30°，

∵EF∥AC，

∴∠1=∠CAD=30°

（2）

解：若點(diǎn)G恰好在BC上，如圖2，

由對(duì)折的對(duì)稱(chēng)性可知Rt△FGE≌Rt△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，

∴∠GEC=60°，

∵△CEG是直角三角形，

∴∠EGC=30°，

∴在Rt△CEG中，EC= EG= x，

由DE+EC=CD 得 ，

∴x=2

（3）

解：分兩種情形：

第一種情形：當(dāng) 時(shí)，如圖3，

在Rt△DEF中，tan∠1=tan30°= ，

∴DF=x÷ = x，

∴y=S△EGF=S△EDF= = = ，

∵ ＞0，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，

∴當(dāng) ，y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=2 時(shí)，y最大值= × =6 ；

第二種情形：當(dāng)2 ＜x≤3 時(shí)，如圖4，

設(shè)FG，EG分別交BC于點(diǎn)M、N，

（法一）∵DE=x，

∴EC= ，NE=2 ，

∴NG=GE﹣NE= = ，

又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，

∴MG=NGtan30°= ，

∴ =

∴y=S△EGF﹣S△MNG= =

∵ ，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) ，

∴當(dāng)2 ＜x≤3 時(shí)，y有最大值，且y隨x的增大而增大，

∴當(dāng) 時(shí)， =9 ，

綜合兩種情形：由于6 ＜9 ；

∴當(dāng) 時(shí)，y的值最大，y的最大值為9 ．

【解析】（1）如圖1，作輔助線(xiàn)AH⊥BC，AH的長(zhǎng)就是CD的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形中的特殊三角函數(shù)值可以求AH的長(zhǎng)，即CD=AH=3 ，在直角△ACD中，求∠CAD=30°，由平行線(xiàn)的同位角相等可以得∠1=∠CAD=30°；（2）如圖2，由對(duì)折得：Rt△FGE≌Rt△FDE，則GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°，從而求得直角△GEC中，EC= x，根據(jù)DE+EC=CD 列式可求得x的值（3）分兩種情形：
第一種情形：當(dāng) 時(shí)，如圖3，△GEF完全在四邊形內(nèi)部分，重疊部分面積就是△GEF的面積；
第二種情形：當(dāng)2 ＜x≤3 時(shí)，如圖4，重疊部分是△GEF的面積﹣△MNG的面積，所以要根據(jù)特殊的三角函數(shù)值求MG、NG的長(zhǎng)，代入面積公式即可．
再根據(jù)兩種情形的最大值作對(duì)比得出結(jié)果．