Question

如圖，梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中點．求證：
（1）AE⊥BE；
（2）AE、BE分別平分∠BAD及∠ABC．

Answer 1

證明：（1）過E作EF∥BC，
∵E是CD的中點，
∴F為AB中點，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
則EF=（AD+BC）=AB，
∴AE⊥BE（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）；

（2）∵EF是梯形ABCD的中位線，
∴AD∥EF，
∴∠AEF=∠EAD，
∵AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴∠EAD=∠EAF，
∴AE平分∠BAD，
同理可證得：BE平分∠ABC．
分析：（1）過E作EF∥BC，利用中位線定理及直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半即可作出解答；
（2）利用EF=AF及平行線的性質(zhì)即可作出證明．
點評：本題考查梯形與直角三角形得結(jié)合，難度不大，作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．