Question

如圖，P為⊙O外一點，∠APC的兩邊分別交⊙O于點A，B和C，D．如果PA=PC，求證：AB=CD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),垂徑定理

專題：證明題

分析：連結(jié)OP，AC，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及△POE≌△POF全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．

解答：解：連結(jié)OP，AC，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F．
∴∠OEP=∠OFP=90°．
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠PAC-∠OAC=∠PCA-∠OCA，
∴∠PAO=∠PCO．
在△POA和△POC中，

PA=PC ∠PAO=∠PCO OA=OC

，
∴△POA≌△POC（SAS）
∴∠APO=∠CPO．
在△POE和△POF中

∠APO=∠CPO ∠OEP=∠OFP PO=PO

，
∴△POB≌△POD（AAS），
∴OE=OF．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AB=CD．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用，角平分線的判定及性質(zhì)的運用，垂徑定理的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．