Question

聰明好學(xué)的小敏查閱有關(guān)資料發(fā)現(xiàn)：用不過圓錐頂點(diǎn)且平行于一條母線的平面截圓錐所得的截面為拋物面，即圖（1）中曲線CFD為拋物線的一部分.圓錐體SAB的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面積為50π，圓錐的截面CFD交母線SB于F，交底面圓P于C、D，AB⊥CD，垂足為O，OF∥SA且OF⊥CD，OP=4.

小題1:求底面圓的半徑AP的長(zhǎng)及圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)；
小題2:當(dāng)以CD所在直線為x軸，OF所在的直線為y軸建立如圖（2）所示的直角坐標(biāo)系.求過C、F、D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
小題3:在拋物面CFD中能否截取長(zhǎng)為5.6，寬為2.2的矩形？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

小題1:設(shè)AP=r，則×2πr×10=50π,∴r=5……………….1分
設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則nπ×10÷360=50π
∴n=180°，AP=5
答：AP的長(zhǎng)5，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為180°……2分
小題2:連接CP，在Rt△COP中，CP=5，OP=4,∴CO=3……………3分
∵P為圓心，PO⊥CD，
∴CO=DO,即AB垂直平分CD.
∵AB=10，SA=SB=10，
∴△SAB為等邊三角形，
∴∠SAB=∠ABS=60°，
∵FO∥SA，∴∠FOB=∠OBF=60°，
∴FO=OB=4+5=9,∴F（0，9），……………………………5分
因?yàn)锳B垂直平分CD，
∴F為過C、F、D三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的關(guān)系式y(tǒng)=ax+9,，過C（-3，0）得a(-3)+9=0
∴a=-1,∴y=－x+9………………………………………7分
小題3:當(dāng)x==2.8時(shí)，y= -2.8+9＜2.2，--------8分
當(dāng)x=2.2÷2=1.1時(shí)，y= -1.1+9＞5.6------9分
∴由矩形與拋物線的對(duì)稱性可知，能截取長(zhǎng)為5.6，寬為2.2的矩形…………10分

略