Question

請(qǐng)閱讀下列材料：
∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)；

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)；

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)；
…

1

2007×2009

=

1

2

(

1

2007

-

1

2009

)
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2007

-

1

2009

)
=

1

2

×(1-

1

2009

)
=

1004

2009

解答下列問題：
（1）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…中，第5項(xiàng)為

 

，第n項(xiàng)為

1

(2n-1)(2n+1)

，上述求和的想法是：將和式中的各分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)之差，使得首末兩項(xiàng)外的中間各項(xiàng)可以

 

，從而達(dá)到求和目的．
（2）利用上述結(jié)論計(jì)算

1

x(x+2)

+

1

(x+2)(x+4)

+

1

(x+4)(x+6)

+…+

1

(x+2008)(x+2010)

Answer 1

分析：本題為規(guī)律性試題，我們可以看到，每一項(xiàng)分母為相鄰的兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)相乘，每一項(xiàng)分母的后一個(gè)奇數(shù)與它后一項(xiàng)分母的前一個(gè)奇數(shù)相等，尋找規(guī)律計(jì)算即可．

解答：解：（1）

1

9×11

、

1

(2n-1)(2n+1)

、抵消為零；

（2）原式=

1

2

(

1

x

-

1

x+2

+

1

x+2

-

1

x+4

+

1

x+4

-

1

x+6

++

1

x+2008

-

1

x+2010

)
=

1

2

(

1

x

-

1

x+2010

)
=

1005

x(x+2010)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了尋找規(guī)律性的問題，關(guān)鍵為找到每一項(xiàng)的共性，以及每一項(xiàng)之間的聯(lián)系．