分析:(1)先由勾股定理求出A
1C=
,則A
1B
1=2,再作等腰直角三角形A
1A
2B
1斜邊上的高B
1D,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出A
1D和B
1D的長,進而得到點B
1的坐標;過點B
2作B
2E⊥x軸于點E,由于三角形A
2A
3B
2是等腰直角三角形,則B
2E=
A
2A
3,然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S
△A1A2B2;
(2)過點B
3作B
3F⊥x軸于點F,易證三角形A
3A
4B
3是等腰直角三角形,則B
3F=
A
3A
4=2
,又A
2A
3=4,根據(jù)三角形的面積公式求出S
△A2A3B3=
A
2A
3•B
3F=4
;同理求出S
△A3A4B4=
×4
×4=8
;…;S
△AnAn+1Bn+1=2
n;然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.
解答:解:(1)∵A
1(1,0)、C(0,1),
∴OA
1=OC=1,
∵∠A
1OC=90°,
∴A
1C=
=
,∠OA
1C=∠OCA
1=45°,
∵以A
1C為一邊向外作長寬比為
:1的矩形,
∴A
1B
1=
A
1C=2,∠B
1A
1A
2=180°-90°-45°=45°,
∴△A
1A
2B
1是等腰直角三角形,
∴A
1A
2=
A
1B
1=2
.
如圖,作三角形A
1A
2B
1的高B
1D,則A
1D=B
1D=
A
1A
2=
,
∴OD=OA
1+A
1D=1+
,
∴點B
1的坐標為(1+
,
);
過點B
2作B
2E⊥x軸于點E,
易證三角形A
2A
3B
2是等腰直角三角形,
∵A
2B
1=A
1B
1=2,
∴A
2B
2=
A
2B
1=2
,
∴A
2A
3=
A
2B
2=4,
∴B
2E=
A
2A
3=2,
∴S
△A1A2B2=
A
1A
2•B
2E=
×2
×2=2
;
(2)過點B
3作B
3F⊥x軸于點F,
易證三角形A
3A
4B
3是等腰直角三角形,
∵A
3B
2=A
2B
2=2
,
∴A
3B
3=
A
3B
2=4,
∴A
3A
4=
A
3B
3=4
,
∴B
3F=
A
3A
4=2
,
∴S
△A2A3B3=
A
2A
3•B
3F=
×4×2
=4
;
同理,可得S
△A3A4B4=
×4
×4=8
;
…
S
△AnAn+1Bn+1=2
n;
∴S
△A1A2B2+S
△A2A3B3+…+S
△AnAn+1Bn+1=2
+4
+8
+…+2
n=
(2+4+8+…+2
n)=
×
=(2
n+1-2)
.
故答案為(1+
,
),2
;(2
n+1-2)
.
點評:本題考查了矩形的性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,等比數(shù)列的求和,綜合性較強,有一定難度.