Question

【題目】在正方形 中，點(diǎn)是射線 上一個(gè)動點(diǎn)．連接，，點(diǎn)，分別為,的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn)在線段 的延長線上時(shí)，請判斷的形狀，并說明理由．

（2）如圖 2，正方形 的邊長為 4，點(diǎn)與點(diǎn) 關(guān)于直線 對稱，且點(diǎn)在線段 上．連接，若點(diǎn) 恰好在直線上，求的長．

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，證明見解析；（2）

【解析】

（1）延長 至，使，連接 ，先證得，再證即可解決本題；

（2）延長至 ，使 ，連接 ，先證，再證得，根據(jù)相似比求出即可.

（1）是等腰三角形，

延長 至，使，連接 ，

∵ ，

，即：，

∵四邊形 是正方形，

∴ ，，

在和中，

（SAS），

，

∵ 是的中點(diǎn)，

∴ ，

∴ ，即： ，

∴ 是的中點(diǎn)，

又∵ 是 的中點(diǎn)，

∴ ，

∴，

∴ ，

∴ ，

∴是等腰三角形；

（2）延長至 ，使 ，連接 ，

∵ 是的中點(diǎn)，，

，

又∵，

，

∴ 是的中點(diǎn)，

∵，

，

又∵ ，

，

，

，

設(shè) ，

即： ，

解之得： （舍去），

則.