Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若存在過點(diǎn)P的直線l交⊙C于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，在P，A，B三點(diǎn)中，位于中間的點(diǎn)恰為以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，則稱點(diǎn)P為⊙C 的相鄰點(diǎn)，直線l為⊙C關(guān)于點(diǎn)P的相鄰線．

（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，
①分別判斷在點(diǎn)D（ ， ），E（0，﹣ ），F(xiàn)（4，0）中，是⊙O的相鄰點(diǎn)有；
②請(qǐng)從①中的答案中，任選一個(gè)相鄰點(diǎn)，在圖1中做出⊙O關(guān)于它的一條相鄰線，并說明你的作圖過程；
③點(diǎn)P在直線y=﹣x+3上，若點(diǎn)P為⊙O的相鄰點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=﹣ 與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，若線段MN上存在⊙C的相鄰點(diǎn)P，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）D或E,解：②連接OD,過點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于A、B兩點(diǎn),如圖所示： ,③令x=0代入y=﹣x+3,∴y=3,令y=0代入y=﹣x+3,∴x=3,∴y=﹣x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0,3）和（3,0）∵由于點(diǎn)P在直線y=﹣x+3上,且點(diǎn)P是⊙O的相鄰點(diǎn),∴0≤PO≤3,且PO≠1又∵點(diǎn)P在⊙O外,∴1＜PO≤3,∴p的橫坐標(biāo)范圍為：0≤x≤3；
（2）解：令x=0代入y=﹣ x+2 ，

∴y=2 ，

∴N（0，2 ），

令y=0代入y=﹣ x+2 ，

∴x=6，

∴M（6，0），

∵點(diǎn)P是半徑為1的⊙C的相鄰點(diǎn)，

∴0≤PC≤3且PC≠1，

∴點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，半徑為3的圓內(nèi)，且不能在以點(diǎn)P為圓心，半徑為1的圓上，

∵點(diǎn)C在x軸上，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)范圍的取值范圍：0≤x≤9．

【解析】解：（1）由定義可知，

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C內(nèi)時(shí)，

由垂徑定理可知，點(diǎn)P必為⊙C的相鄰點(diǎn)，

此時(shí)，0≤PC＜1；

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C外時(shí)，

設(shè)點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，

連接PC交⊙C于點(diǎn)M，

延長(zhǎng)PC交⊙C于點(diǎn)N，

連接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°，

∠B+∠NMA=180°，

∴∠AMP=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP，

∴ = ，

∴PAPB=PMPN，

∵點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，

∴AB=PA，

又∵⊙C的半徑為1，

∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN），

∴2AB2=PC2﹣1，

又∵AB是⊙C的弦，

∴AB≤2，

∴2AB2≤8，

∴PC2﹣1≤8，

∴PC2≤9，

∴PC≤3，

∵點(diǎn)P在⊙C外，

∴PC＞1，

∴1＜PC≤3，

當(dāng)點(diǎn)P在⊙C上時(shí)，

此時(shí)PC=1，但不符合題意，

綜上所述，半徑為1的⊙C，當(dāng)點(diǎn)P與圓心C的距離滿足：0≤PC≤3，且PC≠1時(shí)，點(diǎn)P為⊙C的相鄰點(diǎn)；

①∵D（ ， ），

∴DO= = ，

∵E（0，﹣ ），

∴OE= ，

∵F（4，0），

∴OF=4，

∴D和E是⊙O的相鄰點(diǎn)；