Question

（1）問題情境：如圖①，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，點(diǎn)M、N在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，過點(diǎn)M作ME⊥y軸，過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足分別為E、F．你發(fā)現(xiàn)MN與EF之間有著怎樣的位置關(guān)系？說明你的理由．
（3）應(yīng)用發(fā)現(xiàn)：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=（x＞0，m是不為0的常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為D，AC與BD相交于點(diǎn)M，連接AD、DC、CB與AB．已知AD=BC，求直線AB的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）分別過點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA=∠DHB=90°，
∴CG∥DH
∵△ABC與△ABD的面積相等
∴CG=DH，
∴四邊形CGHD為平行四邊形
∴AB∥CD；
（2）①證明：連接MF，NE，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₁，y₁），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₂，y₂），
∵點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，
∴x₁y₁=k，x₂y₂=k，
∵M(jìn)E⊥y軸，NF⊥x軸，
∴OE=y₁，OF=x₂，
∴S_△EFM=x₁•y₁=k，
S_△EFN=x₂•y₂=k，
∴S_△EFM=S_△EFN；
∴由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF；
（3）根據(jù)（2）可以得到AB∥CD，
又∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AC⊥DB，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵A的坐標(biāo)是（1，4），
∴M的坐標(biāo)是（2，1），則B的坐標(biāo)是（2，2）．
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則直線AB的解析式是：y=-2x+6．
分析：（1）分別過點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，根據(jù)CG∥DH，得到△ABC與△ABD同底，而兩個(gè)三角形的面積相等，因而CG=DH，可以證明四邊形CGHD為平行四邊形，∴AB∥CD．
（2）判斷MN與EF是否平行，根據(jù)（1）中的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明S_△EFM=S_△EFN即可；
（3）易證四邊形ABCD是菱形，據(jù)此即可求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用，這是一個(gè)閱讀理解的問題，正確解決（1）中的證明是解決本題的關(guān)鍵．