Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，將△DCP沿DP折疊至△DPQ，若DQ，DP恰好與如圖所示的以正方形ABCD的中心O為圓心的⊙O相切，則折痕DP的長(zhǎng)為（　�。�

• A．

  2

  3

  3

• B．

  4

  3

  3

• C．

  2

  3

  5

• D．

  4

  3

  5

Answer 1

分析：首先連接OD，由正方形的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理與折疊的性質(zhì)，易求得∠CDP=∠PDQ=∠ADQ=

1

3

∠ADC=30°，然后由勾股定理，易求得CP的長(zhǎng)，繼而可求得答案．

解答：解：連接OD，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴∠ADO=∠CDO，
又∵DQ與DP都為圓O的切線，
∴DO平分∠PDQ，即∠PDO=∠QDO，
∴∠ADO-∠QDO=∠CDO-∠PDO，即∠ADQ=∠CDP，
又∵將△DCP沿DP折疊至△DPQ，
∴∠CDP=∠PDQ，
∴∠CDP=∠PDQ=∠ADQ=

1

3

∠ADC=30°，
在Rt△PCD中，設(shè)CP=x，則DP=2x，CD=2，
根據(jù)勾股定理得：DP²=CD²+CP²，即4x²=x²+2²，
解得：x=

2

3

3

，
∴DP=2x=

4

3

3

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．