Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，且D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）CF=5，cos∠A= ，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結(jié)OD．

∵CD=DB，CO=OA，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，AB=2OD，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥OD，即OD⊥EF，

∴直線EF是⊙O的切線

（2）解：∵OD∥AB，

∴∠COD=∠A．

在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，

∴cos∠A=cos∠FOD= = ，

設(shè)⊙O的半徑為R，則 = ，

解得R= ，

∴AB=2OD= ．

在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，

∴cos∠A= = = ，

∴AE=

【解析】（1）連結(jié)OD．先證明OD是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定即可得出直線EF是⊙O的切線；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠COD=∠A．由cos∠A=cos∠FOD= = ，設(shè)⊙O的半徑為R，于是得到 = ，解得R= ，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．