Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在邊AC上，DE⊥B于點E，連CE．
（1）如圖1，已知AC=BC，AD=2CD，

①△ADE與△ABC面積之比；
②求tan∠ECB的值；
（2）如圖2，已知 = =k，求tan∠ECB的值（用含k的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①作EH⊥AD于H，如圖1，設(shè)CD=x，則AD=2x，AC=BC=3x，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴∠A=45°，

而DE⊥AB，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴AH=HDF=HE=x，

∴S△ADE= 2xx=x2，

∵S△ACB= 3x3x= x2，

∴ = = ；

②在Rt△CHE中，tan∠HEC= = =2，

∵HE∥BC，

∴∠BCE=∠HEC，

∴tan∠ECB=2；

（2）

解：作EH⊥AD于H，如圖2，設(shè)CD=a，

∵ = =k，

∴AD=ak，BC=kAC，

∴AC=（k+1）a，

∴BC=（k2+k）a，

∴AB= =（k+1） a，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，即 = ，解得AE= ，

∵HE∥BC，

∴△AHE∽△ACB，

∴ = = ，即 = = ，

∴AH= ，HE= ，

∴CH=AC﹣AH=（k+1）a﹣ = a，

∴tan∠HEC= = = ，

∵HE∥BC，

∴∠BCE=∠HEC，

∴tan∠ECB= ．

【解析】（1）①作EH⊥AD于H，如圖1，設(shè)CD=x，則AD=2x，AC=BC=3x，先證明△ADE為等腰直角三角形得到AH=HDF=HE=x，然后利用三角形面積公式計算出S△ADE和S△ACB ， 從而得到 的值；②在Rt△CHE中，利用正切的定義得到tan∠HEC=2，再證明∠BCE=∠HEC，所以tan∠ECB=2；（2）作EH⊥AD于H，如圖2，設(shè)CD=a，則AD=ak，BC=kAC，AC=（k+1）a，BC=（k2+k）a，利用勾股定理定理計算出AB=（k+1） a，再證明△ADE∽△ABC，利用相似比得到AE= ，接著證明△AHE∽△ACB，利用相似比可得到AH= ，HE= ，則CH= a，則根據(jù)正切定義得到tan∠HEC= = ，然后證明∠BCE=∠HEC，從而得到tan∠ECB的值．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點，需要掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題．