Question

閱讀下列材料，然后解答問題．
經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫做這個圓的內(nèi)接正四邊形．
如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的面積為S₁，正方形ABCD的面積為S₂．以圓心O為頂點(diǎn)作∠MON，使∠MON=90°．將∠MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與⊙O交于點(diǎn)E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點(diǎn)G、H．設(shè)由OE、OF、

EF

及正方形ABCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S．
（1）當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時（如圖①），則S、S₁、S₂之間的關(guān)系為：

 

（用含S₁、S₂的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)OM⊥AB于G時（如圖②），則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由；
（3）當(dāng)∠MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時（如圖③），則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）結(jié)合正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，容易得出結(jié)論；
（2）仍然成立，可證得四邊形OGHB為正方形，則可求出陰影部分的面積為扇形OEF的面積減去正方形OGBH的面積；
（3）仍然成立，過O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分別為R、S，則可證明△ORG≌△OSH，可得出四邊形ORBS的面積=四邊形OGBH的面積，再利用扇形OEF的面積減正方形ORBS的面積即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)OM經(jīng)過點(diǎn)A時由正方形的性質(zhì)可知：∠MON=90°，
∴S_△OAB=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

S₂，S_扇形OEF=

1

4

S_圓O=

1

4

S₁，
∴S=S_扇形OEF-S_△OAB=

1

4

S_圓O-

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

S₁-

1

4

S₂=

1

4

（S₁-S₂），
故答案為：S=

1

4

（S₁-S₂）；
（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：
∵∠EOF=90°，
∴S_扇形OEF=

1

4

S_圓O=

1

4

S₁
∵∠OGB=∠EOF=∠ABC=90°，
∴四邊形OGBH為矩形，
∵OM⊥AB，
∴BG=

1

2

AB=

1

2

BC=BH，
∴四邊形OGBH為正方形，
∴S_{四邊形OGBH}=BG²=（

1

2

AB）²=

1

4

S₂，
∴S=S_扇形OEF-S_{四邊形OGBH}=

1

4

S₁-

1

4

S₂=

1

4

（S₁-S₂）；
（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：
∵∠EOF=90°，
∴S_扇形OEF=

1

4

S_圓O=

1

4

，
過O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分別為R、S，
由（2）可知四邊形ORBS為正方形，
∴OR=OS，
∵∠ROS=90°，∠MON=90°，
∴∠ROG=∠SOH=90°-∠GOS，
在△ROG和△SOH中，

∠ROG=∠SOH OR=OS ∠ORG=∠OSH

，
∴△ROG≌△SOH（ASA），
∴S_△ORG=S_△OSH，
∴S_{四邊形OGBH}=S_{正方形ORBS}，
由（2）可知S_{正方形ORBS}=

1

4

S₂，
∴S_{四邊形OGBH}=

1

4

S₂，
∴S=S_扇形OEF-S_{四邊形OGBH}=

1

4

（S₁-S₂）．

點(diǎn)評：本題主要考查圓的有關(guān)計算及正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用，求陰影部分的面積主要有兩種方法，即“割”或“補(bǔ)”把陰影部分的面積分成其他圖形面積的和或差來求解，這是本題解題的關(guān)鍵．