Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，2），直線l的解析式為y=x+1，l與x、y軸分別交于點(diǎn)B、C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求cos∠CBO的值；
（3）在第一象限內(nèi)，直線l上是否存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）令x=0，則y=1，則C（0，1）；

（2）令y=0，則0=x+1，
解得，x=-1，
∴B（-1，0），
∴OB=1．
∵由（1）知，C（0，1），
∴OC=1，
∴OB=OC．
∴如圖，△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴cos∠CBO=；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°．
∵點(diǎn)P在直線y=x+1上，∴設(shè)P（m，m+1）（m＞0），
∴在直角△OPA中，根據(jù)勾股定理知OP²+PA²=OA²，即m²+（m+1）²+（m-3）²+（m+1-2）²=2²+3²
解得，m=或m=（不合題意，舍去），
∴存在這樣的點(diǎn)P，其坐標(biāo)是（，）．
分析：（1）把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入直線方程，即可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，則C（0，1）；
（2）將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入直線方程即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），則易證△BCO的等腰直角三角形，所以根據(jù)特殊角的三角形函數(shù)值求得cos∠CBO的值；
（3）假設(shè)存在P（m，m+1），使∠OPA=90°．則由勾股定理知OP²+PA²=OA²，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可列出關(guān)于m的方程，通過(guò)解方程求得點(diǎn)m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理的應(yīng)用等．解答（2）題時(shí)，也可以根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答．