Question

操作示例：
對于邊長為a的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖1所示的方式擺放，在沿虛線BD，EG剪開后，可以按圖中所示的移動方式拼接為圖1中的四邊形BNED．
從拼接的過程容易得到結論：
①四邊形BNED是正方形；
②S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGH}=S_{正方形BNED}．
實踐與探究：
（1）對于邊長分別為a，b（a＞b）的兩個正方形ABCD和EFGH，按圖2所示的方式擺放，連接DE，過點D作DM⊥DE，交AB于點M，過點M作MN⊥DM，過點E作EN⊥DE，MN與EN相交于點N；
①證明四邊形MNED是正方形，并用含a，b的代數式表示正方形MNED的面積；
②在圖2中，將正方形ABCD和正方形EFGH沿虛線剪開后，能夠拼接為正方形MNED，請簡略說明你的拼接方法（類比圖1，用數字表示對應的圖形）；
（2）對于n（n是大于2的自然數）個任意的正方形，能否通過若干次拼接，將其拼接成為一個正方形？請簡要說明你的理由．

Answer 1

解：（1）①證明：由作圖的過程可知四邊形MNED是矩形．
在Rt△ADM與Rt△CDE中，
∵AD=CD，又∠ADM+∠MDC=∠CDE+∠MDC=90°，
∴DM=DE
∴四邊形MNED是正方形．
∵DE²=CD²+CE²=a²+b²，
∴正方形MNED的面積為a²+b²；
②過點N作NP⊥BE，垂足為P，如圖
可以證明圖中6與5位置的兩個三角形全等，4與3位置的兩個三角形全等，2與1位置的兩個三角形也全等．
所以將6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接為正方形MNED．

（2）答：能．
理由是：由上述的拼接過程可以看出：對于任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形，而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形在拼接為一個正方形，依此類推．由此可知：對于n個任意的正方形，可以通過（n-1）次拼接，得到一個正方形．
分析：（1）首先證明四邊形MNED是矩形，然后依題意可證出四邊形MNED是正方形．根據勾股定理可得正方形MNED的面積．
過點N做NP⊥BE，然后根據全等三角形的判定求得．
（2）由上述的拼接過程可以看出：對于任意的兩個正方形都可以拼接為一個正方形，而拼接出的這個正方形可以與第三個正方形在拼接為一個正方形，所以可得出一個正方形．
點評：本題考查的是正方形的性質以及正方形的判定定理．