Question

當(dāng)代數(shù)式

x2+6x+13

+

x2+y2

+

y2-4y+5

取得最小值時，x+y=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：無理函數(shù)的最值

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：可將不熟悉的“求三個二次根式和的最小值”的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“求三條線段和的最小值“的問題．若A的坐標(biāo)為（-3，2），B的坐標(biāo)為（x，0），C的坐標(biāo)為（0，y），D的坐標(biāo)為（1，2），則根據(jù)勾股定理可得AB=

x2+6x+13

，BC=

x2+y2

，CD=

y2-4y+5

，從而得到原式=AB+BC+CD，只需求出AB+BC+CD的最小值就可解決問題．

解答：解：如圖，A的坐標(biāo)為（-3，2），D的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，
過點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，延長DF到點(diǎn)D′，使得FD′=FD，
連接AD交y軸于點(diǎn)H，連接AB、BC、CD、BD、BD′、AD′，
則DH⊥y軸，AD⊥DD′，BD=BD′，點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（1，-2）．
設(shè)B的坐標(biāo)為（x，0），C的坐標(biāo)為（0，y），
在Rt△AEB中，
∵AE=2，BE=

.

x-(-3)

.

=

.

x+3

.

，
∴AB=

AE2+BE2

=

22+(x+3)2

=

x2+6x+13

．
在Rt△BOC中，
∵OB=

.

x

.

，OC=

.

y

.

，
∴BC=

OB2+OC2

=

x2+y2

．
在Rt△DHC中，
∵DH=1，CH=

.

y-2

.

，
∴CD=

DH2+CH2

=

12+(y-2)2

=

y2-4y+5

．
∴原式=AB+BC+CD．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：
當(dāng)B、C、D三點(diǎn)共線時，BC+CD最短，等于BD長
此時AB+BC+CD的最小值等于AB+BD．
∵BD=BD′，∴AB+BD=AB+BD′．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：
當(dāng)A、B、D′三點(diǎn)共線時，AB+BD′最短，等于AD′長．
設(shè)直線AD′的解析式為y=kx+b，
則

-3k+b=2 k+b=-2

．
解得：

k=-1 b=-1

．
∴直線AD′的解析式為y=-x-1．
當(dāng)x=0時，y=-1；當(dāng)y=0時，x=-1．
∴當(dāng)代數(shù)式

x2+6x+13

+

x2+y2

+

y2-4y+5

取得最小值時，x=-1，y=-1．
∴x+y=-2．
故答案為：-2．

點(diǎn)評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，考查了創(chuàng)造性思維和數(shù)形結(jié)合的思想，而把問題轉(zhuǎn)化為求線段和的最小值是解決本題的關(guān)鍵．