Question

如圖所示，在矩形ABCD和矩形BFDE中，若AB＝BF，求證：MN⊥CF．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖，連結(jié)BD． 　　在矩形ABCD和矩形BFDE中，∵AB＝DC，BF＝DE(矩形的對(duì)邊相等)． 　　又∵AB＝BF，∴AB＝BF＝DE＝DC(等量代換)． 　　在△ABM和△EDM中， 　　∠A＝∠E＝(矩形的四個(gè)角都是直角)， 　　∠AMB＝∠EMD(對(duì)頂角相等)， 　　∵AB＝DE(已證)，∴△AMB≌△EMD(AAS)， 　　∴BM＝MD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)， 　　∵BE∥DF，AD∥BC(矩形對(duì)邊平行)， 　　∴四邊形BMDN是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)， 　　∴MN⊥BD(菱形對(duì)角線互相垂直)， 　　BN＝DN(菱形的四條邊相等)． 　　∴∠1＝∠2(等邊對(duì)等角)． 　　同理可證△BNF≌△DNC， 　　∴NF＝NC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)， 　　∴∠3＝∠4(等邊對(duì)等角)， 　　∴∠1＝∠4(三角形內(nèi)角是)， 　　∴BD∥CF(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)． 　　又∵M(jìn)N⊥BD， 　　故MN⊥CF(垂直于兩條平行線中的一條必垂直于另一條)． 　　解析：由題目的已知條件易證△AMB≌△EMD，故BM＝MD． 　　所以四邊形BMDN是菱形，連結(jié)BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)BD⊥MN，同理可證△BNF≌△DNC，則NF＝NC，NB＝ND． 　　所以∠NBD＝∠NDB＝∠NFC＝∠NCF，則CF∥BD， 　　故MN⊥CF． 　　說明：證垂直問題可應(yīng)用菱形兩對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)，這也是證明垂直的一種方法．