Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5，AD= ，AE⊥BD，垂足是E．點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接AF，BF．

（1）求AE和BE的長(zhǎng)；
（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B沿BD方向所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度）．當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時(shí)，直接寫(xiě)出相應(yīng)的m的值；
（3）如圖②，將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ABF為△A′BF′，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)A′F′所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P．與直線BD交于點(diǎn)Q．是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使△DPQ為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)DQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△ABD中，AB=5，AD= ，

由勾股定理得：BD= = = ．

∵S△ABD= BDAE= ABAD，

∴AE= = =4．

在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，

由勾股定理得：BE=3

（2）

解：設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：

由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知，∠1=∠2．

由平移性質(zhì)可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．

①當(dāng)點(diǎn)F′落在AB上時(shí)，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′=3，即m=3；

②當(dāng)點(diǎn)F′落在AD上時(shí)，

∵AB∥A′B′，

∴∠6=∠2，

∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

又易知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D為等腰三角形，

∴B′D=B′F′=3，

∴BB′=BD﹣B′D= ﹣3= ，即m=

（3）

解：存在．理由如下：

在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如答圖3﹣1所示，點(diǎn)Q落在BD延長(zhǎng)線上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，

∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，

∴∠3=∠Q，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = =3 ．

∴DQ=BQ﹣BD=3 ﹣ ；

②如答圖3﹣2所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠P，

∴BA′∥PD，則此時(shí)點(diǎn)A′落在BC邊上．

∵∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴BQ=A′Q，

∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，

即：32+（4﹣BQ）2=BQ2，

解得：BQ= ，

∴DQ=BD﹣BQ= ﹣ = ；

③如答圖3﹣3所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．

∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，

∴∠4=90°﹣ ∠2．

∵∠1=∠2，

∴∠4=90°﹣ ∠1．

∴∠A′QB=∠4=90°﹣ ∠1，

∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣ ∠1，

∴∠A′QB=∠A′BQ，

∴A′Q=A′B=5，

∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ= = = ，

∴DQ=BD﹣BQ= ﹣ ；

④如答圖3﹣4所示，點(diǎn)Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴BQ=BA′=5，

∴DQ=BD﹣BQ= ﹣5= ．

綜上所述，存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q，使△DPQ為等腰三角形；

DQ的長(zhǎng)度分別為3 ﹣ 或 或 ﹣ 或

【解析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫(huà)出圖形，如答圖2所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出m的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，等腰△DPQ有4種情形，如答圖3所示，對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．