Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2﹣bx+c與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）兩點，與y軸交于C點，且+=﹣．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線頂點為D，直線BD交y軸于E點；

①設(shè)點P為線段BD上一點（點P不與B、D兩點重合），過點P作x軸的垂線與拋物線交于點F，求△BDF面積的最大值；

②在線段BD上是否存在點Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；（2）①當(dāng)a=2時，S最大=﹣4+8﹣3=1；②存在點Q坐標(biāo)為（，﹣3）

【解析】（1）應(yīng)用對稱軸方程、根與系數(shù)關(guān)系求b，c

（2）①設(shè)出點P坐標(biāo)表示△BDF面積，求最大值；

②利用勾股定理逆定理，證明∠BDC=90°，則QC⊥y軸，問題可解．

（1）∵拋物線對稱軸為直線x=1

∴-＝1

∴b=2

由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：

x1+x2=-，x1x2=，

∴，

∴，

則c=-3，

∴拋物線解析式為：y=x2-2x-3；

（2）由（1）點D坐標(biāo)為（1，-4），

當(dāng)y=0時，x2-2x-3=0，

解得x1=-1，x2=3，

∴點B坐標(biāo)為（3，0），

①設(shè)點F坐標(biāo)為（a，b），

∴△BDF的面積S=×（4-b）（a-1）+（-b）（3-a）-×2×4，

整理的S=2a-b-6，

∵b=a2-2a-3，

∴S=2a-（a2-2a-3）-6=-a2+4a-3，

∵a=-1＜0，

∴當(dāng)a=2時，S最大=-4+8-3=1，

②存在.

由已知點D坐標(biāo)為（1，-4），點B坐標(biāo)為（3，0），

∴直線BD解析式為：y=2x-6，

則點E坐標(biāo)為（0，-6），

連BC、CD，則由勾股定理得，

CB2=（3-0）2+（-3-0）2=18

CD2=12+（-4+3）2=2，

BD2=（-4）2+（3-1）2=20，

∴CB2+CD2=BD2，

∴∠BDC=90°，

∵∠BDC=∠QCE，

∴∠QCE=90°，

∴點Q縱坐標(biāo)為-3，

代入-3=2x-6，

∴x=，

∴存在點Q坐標(biāo)為（，-3）