Question

在矩形ABCD中，點E在BC邊上，過E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點，連接BF、FG、GB. 設(shè)=k．

（1）證明：△BGF是等腰三角形；

（2）當(dāng)k為何值時，△BGF是等邊三角形？并說明理由。

（3）我們知道：在一個三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等．事實上，在一個三角形中，較大的邊所對的角也較大；反之也成立．

利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時，k的取值范圍.

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）0＜k＜1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可以得出BG=FG，從而得出結(jié)論；

（2）當(dāng)△BGF為等邊三角形時由等邊三角形的性質(zhì)可以得出∠BAC=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)值就可以求出k的值；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論課得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=∠BGF，根據(jù)∠BGF的大小分三種情況討論就可以求出結(jié)論．

試題解析：（1）證明：∵EF⊥AC于點F，

∴∠AFE=90°

∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點，

∴GF=AE，

在Rt△ABE中，同理可得BG=AE，

∴GF=GB，

∴△BGF為等腰三角形；

（2）當(dāng)△BGF為等邊三角形時，∠BGF=60°

∵GF=GB=AG，

∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE

∴∠BGF=2∠BAC，

∴∠BAC=30°，

∴∠ACB=60°，

∴=tan∠ACB=，

∴當(dāng)k=時，△BGF為等邊三角形；

（3）由（1）得△BGF為等腰三角形，由（2）得∠BAC=∠BGF，

∴當(dāng)△BGF為銳角三角形時，∠BGF＜90°，

∴∠BAC＜45°，

∴AB＞BC，

∴k=＞1；

當(dāng)△BGF為直角三角形時，∠BGF=90°，

∴∠BAC=45°

∴AB=BC，

∴k==1；

當(dāng)△BGF為鈍角三角形時，∠BGF＞90°，

∴∠BAC＞45°

∴AB＜BC，

∴k=＜1；

∴0＜k＜1．

考點：四邊形綜合題．