Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB=AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，連接BE．
（1）猜想BE與AD的關(guān)系，并證明．
（2）若AC=

2

cm，則BE=

 

cm，DE=

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，而∠3=∠4，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠EBD=∠ECD=90°；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BE，而DB=AB=2cm，所以BE=4cm；在Rt△DBE中，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）BE與AD垂直．理由如下：
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，CA=CB，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ECD+∠DCB=∠DCB+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，

CD=CE ∠ACD=∠BCE CA=CB

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠EBD=∠ECD=90°，
∴BE⊥CD．
（2）∵若AC=BC=

2

cm，
∴AB=

( 2 )2+( 2 )2

=2cm，
∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵DB=AB=2cm，
∴BE=2×2cm=4cm；
在Rt△DBE中，
DE=

22+42

=2

5

cm．
故答案為4cm，2

5

cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．