如圖所示,Rt△ABC中,∠ACB=,BD=BC,ED⊥AB交AC于點E,CD與BE相交于F.求證:BE垂直且平分CD.
證法一:∵ ED⊥AB,∴∠ EDB=.∵ BD=BC,EB=EB,∴ Rt△EDB≌Rt△ECB(HL),∴∠ EBD=∠EBC,∴ BF是∠CBD的角平分線.∵ BD=BC,∴△ CDB是等腰三角形,∴ BF⊥CD,DF=CF,∴ BE垂直且平分CD.證明二:∵ BD=BC,∴ B在CD的垂直平分線上,(要證明一條直線垂直平分另一條線段,就要找到直線上的點到該線段兩個端點的距離.)∴∠ BCD=∠BDC.∵ ED⊥AB,∴∠ EDB=.∵∠ ACB=,∴∠ ACB=∠EDB.∵∠ EDC=∠EDB-∠CDB,∠ ECD=∠ACB-∠DCB,∴∠ EDC=∠ECD,∴ ED=CE,∴ E在CD的垂直平分線上,∴ BE是CD的垂直平分線. |
注:方法一利用了等腰三角形三線合一的性質(zhì),方法二根據(jù)垂直平分線的定義來證明. |
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5 |
2 |
A、
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B、
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C、4 | ||
D、
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