【題目】解答題
(1)【問題提出】
如圖①,已知△ABC是等腰三角形,點(diǎn)E在線段AB上,點(diǎn)D在直線BC上,且ED=EC,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF
試證明:AB=DB+AF

(2)【類比探究】
如圖②,如果點(diǎn)E在線段AB的延長線上,其他條件不變,線段AB,DB,AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由

(3)如果點(diǎn)E在線段BA的延長線上,其他條件不變,請?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,并寫出AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系,不必說明理由.

【答案】
(1)

證明:ED=EC=CF,

∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,

∴∠ECF=60°,∠BCA=60°,BE=AF,EC=CF,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=EC,∠CEF=60°,

又∵ED=EC,

∴ED=EF,

∵△ABC是等腰三角形,∠BCA=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠CAF=∠CBA=60°,

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE,

∵∠CAF=∠CEF=60°,

∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓,

∴∠AEF=∠ACF,

又∵ED=EC,

∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF,

∴∠D=∠AEF,

在△EDB和△FEA中,

(AAS)

∴△EDB≌△FEA,

∴DB=AE,BE=AF,

∵AB=AE+BE,

∴AB=DB+AF


(2)

證明:AB=BD﹣AF;

延長EF、CA交于點(diǎn)G,

∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,

∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=EC,

又∵ED=EC,

∴ED=EF,∠EFC=∠BAC=60°,

∵∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,

∴∠FCG=∠FEA,

又∵∠FCG=∠ECD,∠D=∠ECD,

∴∠D=∠FEA,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得

∠CBE=∠CAF=120°,

∴∠DBE=∠FAE=60°,

在△EDB和△FEA中,

(AAS)

∴△EDB≌△FEA,

∴BD=AE,EB=AF,

∴BD=FA+AB,

即AB=BD﹣AF


(3)

證明:如圖③,

,

ED=EC=CF,

∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF,

∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC,

∴△CEF是等邊三角形,

∴EF=EC,

又∵ED=EC,

∴ED=EF,

∵AB=AC,BC=AC,

∴△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°,

又∵∠CBE=∠CAF,

∴∠CAF=60°,

∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC

=180°﹣60°﹣60°

=60°

∴∠DBE=∠EAF;

∵ED=EC,

∴∠ECD=∠EDC,

∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC,

又∵∠EDC=∠EBC+∠BED,

∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC,

∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC,

∴∠BDE=∠AEF,

在△EDB和△FEA中,

(AAS)

∴△EDB≌△FEA,

∴BD=AE,EB=AF,

∵BE=AB+AE,

∴AF=AB+BD,

即AB,DB,AF之間的數(shù)量關(guān)系是:

AF=AB+BD


【解析】(1)首先判斷出△CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,AB=AE+BF,所以AB=DB+AF.(2)首先判斷出△CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,∠FCG=∠FEA,再根據(jù)∠FCG=∠EAD,∠D=∠EAD,可得∠D=∠FEA;然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,EB=AF,進(jìn)而判斷出AB=BD﹣AF即可.(3)首先根據(jù)點(diǎn)E在線段BA的延長線上,在圖③的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整,然后判斷出△CEF是等邊三角形,即可判斷出EF=EC,再根據(jù)ED=EC,可得ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°,再判斷出∠DBE=∠EAF,∠BDE=∠AEF;最后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△EDB≌△FEA,即可判斷出BD=AE,EB=AF,進(jìn)而判斷出AF=AB+BD即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等邊三角形的性質(zhì),需要了解等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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x

﹣1

0

1

3

y

﹣1

3

5

3

下列結(jié)論:
①ac<0;
②當(dāng)x>1時(shí),y的值隨x值的增大而減。
③3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根;
④當(dāng)﹣1<x<3時(shí),ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正確的結(jié)論是

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①AD=BE②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP; ⑤∠AOB=60°

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)

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