Question

在如圖的直角坐標系中，已知點A（1，0）；B（0，-2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉90°至AC．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=-

1

2

x²+ax+2經過點C．
①求拋物線的解析式；
②在拋物線上是否存在點P（點C除外）使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）過C作CD⊥x軸，垂足為D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C為第四象限的點，
∴C的坐標為（3，-1）；

（2）①∵拋物線y=-

1

2

x²+ax+2經過點C，且C（3，-1），
∴把C的坐標代入得：-1=-

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2

+3a+2，解得：a=

1

2

，
則拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+2；
②存在點P，△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形，
（i）若以AB為直角邊，點A為直角頂點，
則延長CA至點P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，過點P₁作P₁M⊥x軸，如圖所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，
∴△AMP₁≌△ADC，
∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，
∴P₁（-1，1），經檢驗點P₁在拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
（ii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，
得到等腰直角三角形ABP₂，過點P₂作P₂N⊥y軸，如圖，

同理可證△BP₂N≌△ABO，
∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，
∴P₂（-2，-1），經檢驗P₂（-2，-1）也在拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
（iii）若以AB為直角邊，點B為直角頂點，則過點B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，
得到等腰直角三角形ABP₃，過點P₃作P₃H⊥y軸，如圖，

同理可證△BP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，
∴P₃（2，-3），經檢驗P₃（2，-3）不在拋物線y=-

1

2

x²+

1

2

x+2上；
則符合條件的點有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）兩點．