Question

拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-4，0），B（2，0）且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段AC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△ADC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸子F點，M、N分別是x軸和線段EF上的動點，設M的坐標為（m，0），若∠MNC=90°，請指出實數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）只需用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-2x-8，設點P的坐標為（a，-2a-8），則點D（a，a²+2a-8），（-4＜a＜0），然后用割補法求得S_△ADC=-2（a+2）²+8，從而可求出△ADC的面積最大時點P的坐標；
（3）易求得OF=1、EF=9、OC=8．設FN=n，（0≤n≤9），然后分三種情況（Ⅰ．M與點F重合，Ⅱ．M在點F左側，Ⅲ．M在點F右側）討論，運用相似三角形的性質(zhì)均可得到m=-n²+8n-1（0≤n≤9）．由m=-n²+8n-1=-（n-4）²+15可得到m最大值為15，再由n=0時m=-1，n=9時m=-10可得m最小值為-10，從而可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-4，0），B（2，0），
∴

16-4b+c=0 4+2b+c=0

，
解得：

b=2 c=-8

．
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-8．

（2）如圖1，
令x=0，得y=-8，
∴點C的坐標為（0，-8）．
設直線AC的解析式為y=kx+t，
則

-4k+t=0 t=-8

，
解得：

k=-2 t=-8

，
∴直線AC的解析式為y=-2x-8．
設點P的坐標為（a，-2a-8），則點D（a，a²+2a-8），（-4＜a＜0），
∴PD=（-2a-8）-（a²+2a-8）=-a²-4a，
∴S_△ADC=S_△APD+S_△CPD
=

1

2

PD•[a-（-4）]+

1

2

PD•（0-a）
=2PD=-2（a²+4a）
=-2（a+2）²+8，
∴當a=-2時，S_△ADC取到最大值為8，此時點P的坐標為（-2，-4）．

（3）由y=x²+2x-8=（x+1）²-9得E（-1，-9）、C（0，-8），
則有OF=1、EF=9、OC=8．
設FN=n，（0≤n≤9），
Ⅰ．當M與點F重合時，此時m=-1，n=8，顯然成立；
Ⅱ．當M在點F左側，作NQ⊥y軸于點Q，如圖2①，此時m＜-1．
∵∠MNC=∠FNQ=90°，∴∠MNF=∠CNQ．
∵∠MFN=∠CQN=90°，
∴△MFN∽△CQN，
∴

MF

CQ

=

FN

QN

，
∴

-1-m

n-8

=

n

1

，
∴m=-n²+8n-1．
Ⅲ．當M在點F右側，作NQ′⊥y軸于點Q′，如圖2②，此時m＞-1．
∵∠MNC=∠FNQ′=90°，∴∠MNF=∠CNQ′．
∵∠MFN=∠CQ′N=90°，
∴△MFN∽△CQ′N，
∴

MF

CQ′

=

FN

Q′N

，
∴

m-(-1)

8-n

=

n

1

，
∴m=-n²+8n-1．
綜上所述：m=-n²+8n-1，（0≤n≤9）．
∴m=-n²+8n-1=-（n-4）²+15，
∴當n=4時，m取到最大值為15．
∵n=0時m=-1，n=9時m=-10，
∴m取到最小值為-10，
∴m的取值范圍是-10≤m≤15．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，運用配方法是解決第（2）小題的關鍵，運用相似三角形的性質(zhì)及分類討論是解決第（3）小題的關鍵．