Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B（，0），連接AB，若對于平面內(nèi)一點(diǎn)C，當(dāng)△ABC是以AB為腰的等腰三角形時，稱點(diǎn)C是線段AB的“等長點(diǎn)”．

（1）在點(diǎn)C1（﹣2，3+2），點(diǎn)C2（0，﹣2），點(diǎn)C3（3+，﹣）中，線段AB的“等長點(diǎn)”是點(diǎn)________；

（2）若點(diǎn)D（m，n）是線段AB的“等長點(diǎn)”，且∠DAB=60°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若直線y=kx+3k上至少存在一個線段AB的“等長點(diǎn)”，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）C1，C3；（2）D（﹣，0）或D（，3）；（3）﹣≤k≤

【解析】

（1）直接利用線段AB的“等長點(diǎn)”的條件判斷；

（2）分兩種情況討論，利用對稱性和垂直的性質(zhì)即可求出m，n；

（3）先判斷出直線y=kx+3與圓A，B相切時，如圖2所示，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論．

（1）∵A（0，3），B（，0），

∴AB=2，

∵點(diǎn)C1（﹣2，3+2），

∴AC1==2，

∴AC1=AB，

∴C1是線段AB的“等長點(diǎn)”，

∵點(diǎn)C2（0，﹣2），

∴AC2=5，BC2==，

∴AC2≠AB，BC2≠AB，

∴C2不是線段AB的“等長點(diǎn)”，

∵點(diǎn)C3（3+，﹣），

∴BC3==2，

∴BC3=AB，

∴C3是線段AB的“等長點(diǎn)”；

故答案為：C1，C3；

（2）如圖1，

在Rt△AOB中，OA=3，OB=，

∴AB=2，tan∠OAB==，

∴∠OAB=30°，

當(dāng)點(diǎn)D在y軸左側(cè)時，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°，

∵點(diǎn)D（m，n）是線段AB的“等長點(diǎn)”，

∴AD=AB，

∴D（﹣，0），

∴m=，n=0，

當(dāng)點(diǎn)D在y軸右側(cè)時，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°，

∴n=3，

∵點(diǎn)D（m，n）是線段AB的“等長點(diǎn)”，

∴AD=AB=2，

∴m=2；

∴D（，3）

（3）如圖2，

∵直線y=kx+3k=k（x+3），

∴直線y=kx+3k恒過一點(diǎn)P（﹣3，0），

∴在Rt△AOP中，OA=3，OP=3，

∴∠APO=30°，

∴∠PAO=60°，

∴∠BAP=90°，

當(dāng)PF與⊙B相切時交y軸于F，

∴PA切⊙B于A，

∴點(diǎn)F就是直線y=kx+3k與⊙B的切點(diǎn)，

∴F（0，﹣3），

∴3k=﹣3，

∴k=﹣，

當(dāng)直線y=kx+3k與⊙A相切時交y軸于G切點(diǎn)為E，

∴∠AEG=∠OPG=90°，

∴△AEG∽△POG，

∴，

∴=，解得：k=或k=（舍去）

∵直線y=kx+3k上至少存在一個線段AB的“等長點(diǎn)”，

∴﹣≤k≤，