Question

在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=

1

x

（x＞0）和y=

-4

x

（x＜0）如圖所示，O為坐標原點．直線AB：y=-

1

3

x+

4

3

分別于它們交于A，B兩點．過點O任作直線l交線段AB于點P，設A，B到直線l的距離分別為d₁、d₂，則d₁+d₂的最大值為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：先用直線的解析式分別與兩人反比例函數(shù)組成方程組，解出方程組的解，得到A，B的坐標，因為當直線l垂直于線段AB時，d₁+d₂的最大，所以求出AB的長度即可．

解答：解：由

y= 1 x y=- 1 3 x+ 4 3

且x＞0，

y= -4 x y=- 1 3 x+ 4 3

且x＜0，
第一個方程組的解為

x=1 y=1

或

x=3 y= 1 3

，第二個方程組的解為：

x=-2 y=2

∴從圖象上可看出A的坐標為（-2，2），B的坐標為（1，1），
∵過點O任作直線l交線段AB于點P，
設A，B到直線l的距離分別為d₁、d₂，
∴當直線l垂直于線段AB時，d₁+d₂的最大值，即AB的長度．
∵AB=

(1-2)2+(1+2)2

=

10

，
∴d₁+d₂的最大值為

10

．
故答案為：

10

．

點評：本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是明確當直線l垂直于線段AB時，d₁+d₂的最大值．