Question

如圖，△ABC中AB=AC，BC=6，點D位BC中點，連接AD，AD=4，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．
（1）試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由．
（2）將四邊形ADCE沿CB以每秒1個單位長度的速度向左平移，設移動時間為t（0≤t≤6）秒，平移后的四邊形A’D’C’E’與△ABC重疊部分的面積為S，求S關于t的函數表達式，并寫出相應的t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三線合一可得∠ADC=90°∠BAD=∠CAD，根據已知可得：∠DAE=∠CEA=90°，即可求得四邊形ADCE是矩形；
（2）平移過程中有兩種不同情況：當0≤t＜3時，重疊部分為五邊形；當3≤t≤6時，重疊部分為三角形．根據多邊形的面積的求解方法即可求得．
解答：解：（1）∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
又∵AE平分∠CAM，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°，
∴∠AEC=∠DAE=∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

（2）平移過程中有兩種不同情況：
①當0≤t＜3時，重疊部分為五邊形，
設C′E′與AC交于點P，A′D′與AB交于點Q，
∴E′P=AE′=（3-t）A′Q=A′A=t，
∴S=S_{矩形A′D′CE′}-S_△AA′Q-S_△AE′P
=3×4-AA′•A′Q-AE′•E′P
=12-t•t-（3-t）•=-+4t+6；

②當3≤t≤6時，重疊部分為三角形，
設AB與C′E′交于點R，
∵C′E′∥AD，
∴△BC′R∽△BDA，
∴==
∵BC′=6-t，
∴C′R=（6-t），
∴S=S_△BC′R=BC′•C′R
=（6-t）•（6-t）
=（6-t）²，
∴S=．
點評：此題考查了矩形的判定方法與三角形的三線合一的性質，還考查了多邊形的面積的求解方法，解題時要注意數形結合思想的應用．