Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：
“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．
例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．
（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直接寫(xiě)出A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．
（2）已知點(diǎn)E（4，0），F(xiàn)（0，2），M（m，4m），N（n，

16

n

），其中m＞0，n＞0．
①若E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，求m的取值范圍；
②直接寫(xiě)出E，F(xiàn)，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）①首先由題意：a=4，然后分別從①當(dāng)t＞2時(shí)，h=t-1，當(dāng)t＜1時(shí)，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根據(jù)題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．
（2）①由E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得

0≤m≤4 0≤4m≤2

．繼而求得m的取值范圍；
②分別從當(dāng)n≤4時(shí)，a=4，h=

16

n

，當(dāng)4＜n＜8時(shí)，a=n，h=

16

n

，當(dāng)n≥8時(shí)，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）由題意：a=4．
①當(dāng)t＞2時(shí)，h=t-1，
則4（t-1）=12，可得t=4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)t＜1時(shí)，h=2-t，
則4（2-t）=12，可得t=-1，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（0，-1）；

②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，
∴A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；

（2）①∵E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，
∴a=4，h=2，
∴

0≤m≤4 0≤4m≤2

．
∴0≤m≤

1

2

．
∵m＞0，
∴0＜m≤

1

2

；

②∵當(dāng)n≤4時(shí)，a=4，h=

16

n

，此時(shí)S=ah=

64

n

，
∴當(dāng)n=4時(shí)，取最小值，S=16；
當(dāng)4＜n＜8時(shí)，a=n，h=

16

n

，此時(shí)S=ah=16；
當(dāng)n≥8時(shí)，a=n，h=2，此時(shí)S=ah=2n，
∴當(dāng)n=8時(shí)，取最小值，S=16；
∴E，F(xiàn)，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為16，此時(shí)n的取值范圍為4≤n≤8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及不等式組的解法．此題屬于新定義題，難度較大，解題的關(guān)鍵是理解a與h的含義，注意掌握分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．